Question

【題目】已知∠ACB＝90°，AC＝2，CB＝4．點P為線段CB上一動點，連接AP，△APC與△APC′關于直線AP對稱，其中點C的對稱點為點C′．直線m過點A且平行于CB

（1）如圖①：連接AB，當點C落在線段AB上時，求BC′的長；

（2）如圖②：當PC＝BC時，延長PC′交直線m于點D，求△ADC′面積；

（3）在（2）的條件下，連接BC′，直接寫出線段BC′的長．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）

【解析】

（1）先根據勾股定理知AB＝2，再由軸對稱性質知AC＝AC′＝2，據此可得答案；

（2）先軸對稱性質知AC＝AC′＝2，PC＝PC′＝1，∠AC′P＝90°，作C′M⊥直線m，延長MC′交BC于點N可得四邊形ACNM是矩形，設C′N＝x，則MC′＝2﹣x，證△AMC′∽△C′NP得，據此可得AM＝2x，PN＝，根據AM＝CN＝CP+PN可得x＝，從而得出C′N＝，C′M＝，AM＝，PN＝，再證△DMC′∽△PNC′得，據此求得DM＝，最后利用三角形面積公式求解可得答案；

（3）由（2）知PB＝3，PN＝，C′N＝，據此求得BN＝PB﹣PN＝，利用勾股定理可得答案．

（1）∵AC＝2，BC＝4，∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∵△APC與△APC′關于直線AP對稱，

∴AC＝AC′＝2，

則BC′＝AB﹣AC′＝2﹣2；

（2）∵PC＝BC，BC＝4，

∴PC＝1，BP＝3，

∵△APC與△APC′關于直線AP對稱，

∴AC＝AC′＝2，PC＝PC′＝1，∠AC′P＝90°，

如圖，過點C′作C′M⊥直線m，延長MC′交BC于點N，

∵AD∥BC，

∴MN⊥BC，

則∠AMC′＝∠C′NP＝90°，

∴四邊形ACNM是矩形，

∴AC＝MN＝2，AM＝CN，

又∠AC′P＝90°，

∴△AMC′∽△C′NP，

∴，

設C′N＝x，則MC′＝2﹣x，

∴，

解得AM＝2x，PN＝，

由AM＝CN＝CP+PN可得2x＝1+，解得x＝，

則C′N＝，C′M＝，AM＝，PN＝，

∵AD∥BC，

∴△DMC′∽△PNC′，

∴，即，

解得：DM＝，

∴AD＝AM+DM＝，

∴△ADC′面積為；

（3）由（2）知PB＝3，PN＝，C′N＝，

∴BN＝PB﹣PN＝，

在Rt△BC′N中，BC′＝．