Question

閱讀下面的材料：
小明遇到一個問題：如圖（1）,在□ABCD中,點E是邊BC的中點,點F是線段AE上一點,BF的延長線交射線CD于點G.如果,求的值.

他的做法是：過點E作EH∥AB交BG于點H,則可以得到△BAF∽△HEF.
請你回答：（1）AB和EH的數量關系為    ,CG和EH的數量關系為    ,的值為    .
（2）如圖（2）,在原題的其他條件不變的情況下,如果,那么的值為    （用含a的代數式表示）.

（3）請你參考小明的方法繼續探究：如圖（3）,在四邊形ABCD中,DC∥AB,點E是BC延長線上一點,AE和BD相交于點F. 如果,那么的值為    （用含m,n的代數式表示）.

Answer 1

（1）3,2,;（2）;（3）mn．

試題分析：（1）過E點作平行線,構造相似三角形,利用相似三角形和中位線的性質,分別將各相關線段均統一用EH來表示,最后求得比值;
（2）先作EH∥AB交BG于點H,得出△EFH∽△AFB,即可得出,再根據AB=CD,表示出CD,根據平行線的性質得出△BEH∽△BCG,即可表示出,從而得出的值;
（3）先過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H,得出EH∥AB∥CD,根據EH∥CD,得出△BCD∽△BEH,再進一步證出△ABF∽△EHF,從而得出的值．
試題解析：（1）過點E作EH∥AB交BG于點H,
則有△ABF∽△HEF,
∴,
∴AB=3EH．
∵平行四邊形ABCD中,EH∥AB,
∴EH∥CD,
又∵E為BC中點,
∴EH為△BCG的中位線,
∴CG=2EH,
∴;
（2）作EH∥AB交BG于點H,則△EFH∽△AFB,
∴,
∴AB=aEH．
∵AB=CD,
∴CD=aEH．
∵EH∥AB∥CD,
∴△BEH∽△BCG．
∴,
∴CG=2EH．
∴;
（3）過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H,則有EH∥AB∥CD,
∵EH∥CD,
∴△BCD∽△BEH,
∴,
∴CD=nEH．
又,
∴AB=mCD=mnEH．
∵EH∥AB,
∴△ABF∽△EHF,
∴．