Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AD平分∠BAC交⊙O于點D，DE⊥AC交AC的延長線于點E，FB是⊙O的切線交AD的延長線于點F．
（1）用尺規作圖找到點E的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）若DE=

3

，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．

Answer 1

（1）如圖所示：

（2）證明：連OD，如圖，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OA，得∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥0D
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（3）過D作DP⊥AB，P為垂足，過O作OH⊥AD，H為垂足，
∵AD為∠BAC的平分線，DE=

3

，
∴DP=DE=3，又⊙O的半徑為，
在Rt△OPD中，OD=2，DP=

3

，得OP=1，則AP=3，
∵BF⊥AB，
∴DP∥FB，
∴

DP

FB

=

AP

AB

，
∴BF=

4 3

3

，
∴tan∠FAB=

4 3 3

4

=

3

3

，
∴∠FAB=30°，
∴∠AOD=120°，∠DOB=60°，
∴S_△AOD=

AD•OH

2

=

2 3 ×1

2

=

3

，
∴S_扇形DOB=

60π×22

360

=

2π

3

，
∴S_陰影=

1

2

AB•BF-S_△AOD-S_扇形DOB=

1

2

×4×

4 3

3

-

3

-

2π

3

=

8 3

3

-

3

-

2π

3

，
=

5 3

3

-

2π

3

．