Question

（本大題有兩題，請同學們選擇你喜歡且拿手一題解答）
【Ⅰ】如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于點D，動點P從點A出發以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動．設動點運動時間為t秒．
（1）求AD的長；
（2）當△PDC的面積為15平方厘米時，求t的值；
（3）動點M從點C出發以每秒2厘米的速度在射線CB上運動．點M與點P同時出發，且當點P運動到終點D時，點M也停止運動．是否存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

【Ⅱ】我校工會于“三•八”婦女節期間組織女職工到國家級風景區“文成銅鈴山”觀光旅游．下面是領隊與旅行社導游收費標準的一段對話：
【領隊】組團去“文成銅鈴山”旅游每人收費是多少？
【導游】如果人數不超過30人，人均旅游費用為360元．
【領隊】超過30人怎樣優惠呢？
【導游】如果超過30人，每增加1人，人均旅游費用降低5元，但人均旅游費用不得低于300元．
我校按旅行社的收費標準組團瀏覽“文成銅鈴山”結束后，共支付給旅行社12400元．設我校這次參加旅游的共有x人．
請你根據上述信息，回答下列問題：
（1）我校參加旅游的人數x的取值范圍是

 

；
（2）我校參加旅游的人每人實際應收費

 

元（用含x的代數式表示）；
（3）求我校這次到“文成銅鈴山”觀光旅游的女職工共有多少人？

Answer 1

分析：【Ⅰ】（1）根據勾股定理求得AD的長；
（2）表示出PD=12-t，S_△PDC=15，得

5

2

(12-t)=15，求得t的值即可；
（3）假設存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．分兩種情況進行討論：①若點M在線段CD上，②若點M在射線DB上，從而求得t的值；
【Ⅱ】（1）先根據旅游的費用，求得我校參加旅游的人數x的取值范圍；
（2）有x人參加旅游，每人的費用降低5（x-30）元，人均費用[360-5（x-30）]元，
（3）找到等量關系列出方程，人均費用×總人數=12400，求出這次到“文成銅鈴山”觀光旅游的女職工共有的人數．

解答：【Ⅰ】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=5cm，
且∠ADB=90°．
∴AD=

AB2-BD2

=12(cm)．
即AD的長為12cm；（3分）

（2）AP=t，PD=12-t，S△PDC=

1

2

PD•DC=

1

2

×5(12-t)
又由S_△PDC=15，得

5

2

(12-t)=15．
解得，t=6．（4分）

（3）假設存在t，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．
①若點M在線段CD上，
即0≤t≤

5

2

時，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC，
即

1

2

×(12-t)(5-2t)=52t²-29t+50=0
解，得t₁=12.5（舍去），t₂=2．（2分）
②若點M在射線DB上，即

5

2

≤t≤12．
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC
得

1

2

(12-t)(2t-5)=52t²-29t+70=0
解，得t 1=

29+ 281

4

，
t 2=

29- 281

4

．（2分）
綜上，存在t的值為2或

29+ 281

4

或

29- 281

4

，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．（1分）

【Ⅱ】
解：（1）我校參加旅游的人數x的取值范圍是x＞30；（2分）

（2）我校參加旅游的人每人實際應收費[360-5（x-30）]元（用含x的代數式表示）；（3分）

（3）依題意，得[360-5•（x-30）]•x=12400，（2分）
化簡、整理，得x²-102x+2480=0．
解，得x₁=40，x₂=62．（2分）
當x₁=40時，360-5•（x-30）=360-5•（40-30）=310＞300，符合題意．
當x₂=62時，360-5•（x-30）=360-5•（62-30）=200＜300，不符合題意，應舍去．
∴x₁=40．（2分）
答：我校這次參加旅游的共有40人．（1分）

點評：本題是兩個題目，難度不大，考查了勾股定理、動點問題和不等式的實際應用．