Question

（2009•西寧）已知OABC是一張矩形紙片，AB=6．
（1）如圖1，在AB上取一點M，使得△CBM與△CB′M關于CM所在直線對稱，點B′恰好在邊OA上，且△OB′C的面積為24cm²，求BC的長；
（2）如圖2．以O為原點，OA、OC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系．求對稱軸CM所在直線的函數關系式；
（3）作B′G∥AB交CM于點G，若拋物線y=x²+m過點G，求這條拋物線所對應的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）S_△OB′C==24，可得OB′=8，在三角形OCB′中，根據勾股定理知B′C=BC=10；
（2）由（1）知，C點坐標為（0，6），B′A=OA-OB′=10-8=2，設AM=x，則BM=B'M=6-x，則在Rt△AB′M中，根據勾股定理可列方程，從而求出AM，即可得M點坐標，然后根據待定系數法求出直線CM的解析式．
（3）由（1）知，B點坐標為（8，0），又B′G∥AB，所以G點橫坐標為8，因為G也在直線CM上，由（2）可得G點縱坐標，然后把G點坐標代入y=x²+m中，求出m，即可解答．
解答：解：（1）如圖1，∵△OB′C的面積為24cm²，且OC=AB=6cm．
∴OB′=2×24÷6=8cm
∴B′C==10cm
∴BC=B′C=10cm．

（2）由（1）可知B′A=OA-OB′=10-8=2
設AM=x，則BM=B′M=6-x
由勾股定理可得方程：2²+x²=（6-x）²
解得：x=
所以M（10，），C（0，6）
設CM所在直線的函數關系式為y=kx+b
則，
解得，
∴CM所在直線的函數關系式為y=-x+6．

（3）∵B′G∥AB，OB′=8
∴G點的橫坐標為8，
又∵點G在直線CM上，CM關系式為y=-x+6
所以G點的縱坐標為y=
即G（8，）．
∵拋物線y=x²+m過點G，
∴
∴m=-
所求拋物線的關系式為y=x²-．
點評：此題主要考查了勾股定理、待定系數法，難易程度適中．