Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，延長AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點B，點D在PC上．設∠PCB=α，∠POC=2β．求證：tanαtanβ=．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：首先連接AC，易得∠A=β，由AB是⊙O的直徑，可表示出tanβ，又由BD垂直于弦BC，可表示出tanα，BD∥AC，證得△PBD∽△PAC，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．

證明：連接AC，則∠A=∠POC=β，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴tanβ=，

∵BD垂直于弦BC，

即DB⊥BC，

∴tanα=，BD∥AC，

∴tanatanβ==，

∴∠DBP=∠A，

又∵∠P=∠P，

∴△PBD∽△PAC，

∴=，

∵PB=0B=OA，

∴=，

∴tanatanβ=．