Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸于點C，且△ABC面積為10．

（1）求點C的坐標及直線BC的解析式；

（2）如圖1，設點F為線段AB中點，點G為y軸上一動點，連接FG，以FG為邊向FG右側作長形FGQP，且FG：GQ＝1：2，在G點的運動過程中，當頂點Q落在直線BC上時，求點G的坐標；

（3）如圖2，若M為線段BC上一點，且滿足S△AMB＝S△AOB，點E為直線AM上一動點，在x軸上是存在點D，使以點D，E，B，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（3，0），y＝﹣x+4；（2）（，）；（3）存在，點D的坐標為：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，則點A、B的坐標分別為：（﹣2，0）、（0，4），△ABC面積＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故點C（3，0），

將點B、C的坐標代入一次函數表達式，即可求解；

（2）證明△GNQ∽△FMG，則，即，故點Q（2m﹣4，m﹣2），即可求解；

（3）分BC是平行四邊形的邊、BC是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．

解：（1）直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，則點A、B的坐標分別為：（﹣2，0）、（0，4），

△ABC面積＝×AC×OB＝AC×4＝10，解得：AC＝5，故點C（3，0），

將點B、C的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+4…①；

（2）設點E（m，m+），點D（n，0），點F為線段AB中點，則點F（﹣1，2），

過點G作x軸的平行線MN，過點F、Q分別作y軸的平行線分別交MN于點M、N，

∵∠MGF+∠GFM＝90°，∠MGF+∠NGQ＝90°，∴∠NGQ＝∠GFM，

∠GNQ＝∠FMG＝90°，

∴△GNQ∽△FMG，

∴，即，

故：GN＝2m﹣4，QN＝2，故點Q（2m﹣4，m﹣2），

將點Q的坐標代入y＝﹣x+4并解得：m＝，

故點Q（，）；

（3）S△AMB＝S△AOB，則OM∥AB，

則直線OM的表達式為：y＝2x…②，

聯立①②并解得：x＝，故點M（，），

同理直線AM的表達式為：y＝x+，

設點E（m，m+），點D（n，0），

①當BC是平行四邊形的邊時，

點B向右平移3個單位向下平移4個單位得到C，

同樣點E（D）向右平移3個單位向下平移4個單位得到D（E），

則m+3＝n，m+﹣4＝0或m﹣3＝n，m++4＝0，

解得：n＝或n＝﹣；

②當BC是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：m+n＝3，m++4＝0，

解得：n＝﹣，

故點D的坐標為：（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．