Question

（2011•濱江區模擬）我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0，-3），AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2．開動腦筋想一想，經過點D的“蛋圓”切線的解析式為（ ）

A．y=-2x-3
B．y=-x-3
C．y=-3x-3
D．y=x-3

Answer 1

【答案】分析：因為經過點D的“蛋圓”切線過D點，所以本題可設它的解析式為y=kx-3．根據圖象可求出拋物線的解析式，因為相切，所以它們的交點只有一個，進而可根據一元二次方程的有關知識解決問題．
解答：解：因為經過點D的“蛋圓”切線過D（0，-3）點，所以設它的解析式為y=kx-3，
∵AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1，0），半圓半徑為2，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵拋物線過點A、B，
∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
又∵拋物線過點D（0，-3），
∴-3=a•1•（-3），即a=1，
∴y=x²-2x-3．
又∵拋物線y=x²-2x-3與直線y=kx-3相切，
∴x²-2x-3=kx-3，即x²-（2+k）x=0只有一個解，
∴△=（2+k）²-4×0=0，
∴k=-2即經過點D的“蛋圓”切線的解析式為y=-2x-3．
故選A．
點評：此類題目需靈活運用待定系數法建立函數解析式，并利用切線的性質，結合一元二次方程來解決問題．