Question

【題目】如圖,C為線段AE上一動點(不與A.E重合),在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ,以下五個結論：①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°，一定成立的有________（填序號）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

①根據全等三角形的判定方法，證出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．
③先證明△ACP≌△BCQ，即可判斷出CP=CQ，③正確；
②根據∠PCQ=60°，可得△PCQ為等邊三角形，證出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正確．
④沒有條件證出BO=OE，得出④錯誤；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正確；即可得出結論．

解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，結論①正確．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACP=∠BCQ=60°，
在△ACP和△BCQ中，，

∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴CP=CQ，結論③正確；
又∵∠PCQ=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，結論②正確．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠AEO，
∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，
∴結論⑤正確．沒有條件證出BO=OE，④錯誤；
綜上，可得正確的結論有4個：①②③⑤．
故答案是：①②③⑤．