Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC＝∠BAC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AC∥DE，當AB＝12，CE＝3時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD⊥DE，即可得出結論；

（2）先判斷出AC⊥BD，進而求出BC=AB=8，進而判斷出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判斷出△CFD∽△BCD，即可得出結論．

（1）如圖，連接BD，交AC于點F．

∵ ∠BAD＝90°， ∴ BD是直徑．

∴ ∠BCD＝90°． ∴ ∠DEC＋∠CDE＝90°．

∵ ∠DEC＝∠BAC， ∴ ∠BAC＋∠CDE＝90°．

∵ ∠BAC＝∠BDC， ∴ ∠BDC＋∠CDE＝90°．

∴ ∠BDE＝90°，即 BD⊥DE．

∵ 點D在⊙O上，

∴ DE是⊙O的切線．

（2）∵ DE∥AC，∠BDE＝90°，

∴ ∠BFC＝90°．

∴ CB＝AB＝12，AF＝CF＝ AC，

∵ ∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°．

∴ ∠CDE＝∠CBD．

∵ ∠DCE＝∠BCD＝90°， ∴ △BCD∽△DCE，

∴ ＝ ， ∴ CD＝6．∴ BD＝6 ．

同理：△CFD∽△BCD，∴ ＝ ， ∴ CF＝ ．

∴ AC＝2AF＝ ．