Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°。

（1）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數；
（2）將圖1中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，在第        秒時，邊MN恰好與射線OC平行；在第        秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC。（直接寫出結果）；
（3）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

（1）已知∠AOC=60°，
所以∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°
所以∠CON=∠COM+90°=150°
（2）當直線ON與OA重合時，MN恰好與射線OC平行，
∴∠AOM=90°，
由題意得，10t=90°
∴t=9
∵∠ONM=60°
∴當∠COM=30°時，MN恰好與射線OC平行
∴∠NOM=270°
由題意得，10t=270°
∴t=27
延長NO，
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
當直線ON恰好平分銳角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即順時針旋轉300°時NO延長線平分∠AOC，
由題意得，10t=300°
∴t=30，
當NO平分∠AOC，
∴∠NOR=30°，
即順時針旋轉120°時NO平分∠AOC，
∴10t=120°，
∴t=12，
∴t=12或30；
（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，
所以∠AOM=90°－∠AON
∠NOC=60°－∠AON
所以∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（60°－∠AON）=30°，
所以∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM－∠NOC=30°

此題考查了角的計算，關鍵是應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關系，是解題的關鍵