Question

矩形ABCD中，點M是邊AD上一點，連接BM、CM．
（1）如圖，若AM=DM，∠BMC=90°，試判斷線段BM與CM的數量關系，并說明理由；
（2）若AB=，AD=8，∠BMC=90°．①求線段AM的長；②若點N在邊BC上，且∠AND=90°，則線段MN的長是______．

Answer 1

解：（1）線段BM與CM的數量關系為相等．理由如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=CD，∠A=∠D=90°，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM=CM；

（2）①∵∠BMC=90°，
∴∠AMB+∠CMD=90°，
而∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CMD，
∴Rt△ABM∽Rt△DMC，
∴=，
∵AB=，AD=8，
∴DC=2，
設AM=x，則DM=8-x，
∴=，
解得x₁=2，x₂=6，
∴AM的長為2或6；
②若點N在邊BC上，且∠AND=90°，
同理可得AN的長為2或6，
如圖，
當AM=2，AN=2，則MN=AB=2，
當AM=2，AN′=6（即N落在N′的位置），則NN′=4，
∴MN′==2，
∴MN的長為2或2．
分析：（1）根據矩形的性質得AD=CD，∠A=∠D=90°，則可根據“SAS”判斷△ABM≌△DCM，所以BM=CM；
（2）①利用等角的余角相等得到∠ABM=∠CMD，于是可判斷Rt△ABM∽Rt△DMC，所以=，設AM=x，則DM=8-x，則=，解得x₁=2，x₂=6，
②同理可得AN的長為2或6，討論：當AM=2，AN=2，則MN=AB=2；當AM=2，AN′=6（即N落在N′的位置），利用勾股定理可計算出MN′=2，所以MN的長為2或2．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等，相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性質、三角形全等與相似的判定與性質．