Question

（2012•麗水）如圖，AB為⊙O的直徑，EF切⊙O于點D，過點B作BH⊥EF于點H，交⊙O于點C，連接BD．
（1）求證：BD平分∠ABH；
（2）如果AB=12，BC=8，求圓心O到BC的距離．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據切線的性質以及BH⊥EF，即可證得OD∥BC，然后根據等邊對等角即可證得；
（2）過點O作OG⊥BC于點G，則利用垂徑定理即可求得BG的長，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：連接OD，
∵EF是⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
又∵BH⊥EF，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠OBD=∠DBH，
即BD平分∠ABH．

（2）解：過點O作OG⊥BC于點G，則BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=

62-42

=2

5

．

點評：本題考查了切線的性質定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是關鍵．