Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2

3

，0），⊙P剛好與x軸相切于點A，⊙P交y的正半軸于點B，點C，且BC=4．
（1）求半徑PA的長；
（2）求證：四邊形CAPB為菱形；
（3）有一開口向下的拋物線過O，A兩點，當它的頂點不在直線AB的上方時，求函數表達式的二次項系數a的取值范圍．

Answer 1

（1）作PD⊥BC于D，根據題意PB=

PD2+BD2

=

(2 3 )2+22

=4，
∴半徑PA=PB=4．

（2）證明：∵⊙P剛好與x軸相切于點A
∴PA⊥x軸，
∴PA∥BC，
∵PA=BC=4，
∴四邊形CAPB是平行四邊形．
又∵AP=PB，
∴平行四邊形CAPB為菱形．

（3）∵BD=2，
∴點B的坐標為B（0，6），
設直線AB的解析式為y=kx+b則

b=6 -2 3 k+b=0

，
解得

k= 3 b=6

，
∴解析式是y=

3

x+6．
當x=-

3

時，y=3，
此時設拋物線為y=ax²+bx+c，
根據題意

(-2 3 )2a+(-2 3 )b+c=0 c=0

解得b=2

3

a，
∴

4ac-b2

4a

=-3a＜3，
解得a＞-1，
又∵拋物線開口向下，
∴-1＜a＜0．