Question

【題目】（9分）如圖，△ABC為等腰三角形，AC＝BC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．

（1）判斷DF與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若BC＝9，EF＝1，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）DF與⊙O相切．證明見解析；（2）2．

【解析】試題分析：(1)、連接OD，根據已知條件得出OD∥AC，從而得出切線；(2)、過點O作OG⊥EC，得出四邊形OGFD為矩形，然后根據勾股定理求出OG的長度.

試題解析：（1）DF與⊙O相切．

連接OD． ∵AC＝BC，OB＝OD， ∴∠B＝∠A ∠B＝∠1 ∴∠A＝∠1 ∴OD∥AC．

∵DF⊥AC ∴∠AFD＝90° ∴∠ODF＝∠AFD＝90°

又∵OD是⊙O的半徑 ∴DF與⊙O相切．

（2）過O作OG⊥EC交EC于點G．∵∠ODF＝∠AFD＝90° ∴四邊形OGFD是矩形．

∴DF＝OG，FG＝OD＝BC＝ ∵OG⊥EC， ∴CG＝EG＝FG－EF＝－1＝．

∴DF＝OG＝＝＝2．