Question

【題目】如圖1．在菱形ABCD中，AB=2 ，tan∠ABC=2，∠BCD=α，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度，得到對(duì)應(yīng)線段CF，連接BD、EF，BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q．

（1）求證：△ECF∽△BCD；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ECF≌△BCD？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EPQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：菱形ABCD中，BC=CD，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，CE=CF，

∴ = ，

又∵∠FCE=∠DCB=α，

∴△FCE∽△DCB

（2）

由（1）知，△FCE∽△DCB，

∴當(dāng)CE=CB=CD時(shí)，△FCE≌△DCB；

①E、D重合，此時(shí)t=0；

②如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AD，

當(dāng)EM=MD時(shí)，EC=CD，

Rt△CMD中，MD=CDcos∠CDA=2 × =2，

∴t=ED=2MD=4，

∴當(dāng)t=0或4時(shí)，△FCE≌△DCB

（3）

∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．

①當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，

∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°．

在Rt△CDE中，∠CED=90°，

∵AB=CD=2 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=2，

∴t=2秒；

②當(dāng)∠EPQ=90°時(shí)，

∵菱形ABCD對(duì)角線AC⊥BD，

∴EC和AC重合．

∴DE=2 ，

∴t=2 秒；

∴當(dāng)t=2或者2 時(shí)，△APQ為直角三角形．

【解析】（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例、夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、余弦的概念計(jì)算；（3）分∠EQD=90°、∠EPQ=90°兩種情況，根據(jù)正切的概念、菱形的性質(zhì)解答．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似圖形的相關(guān)知識(shí)，掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等；④三邊對(duì)應(yīng)成比例．