Question

（2007•荊州）如圖1，在平面直角坐標系中，有一張矩形紙片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），點P是OA邊上的動點（與點O、A不重合）．現將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當的點E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．
（1）設P（x，0），E（0，y），求y關于x的函數關系式，并求y的最大值；
（2）如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數關系式；
（3）在（2）的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得OP=x，OE=y，則PA=4-x，AB=3．利用互余關系可證Rt△POE∽Rt△BPA，由相似比可得y關于x的函數關系式；
（2）此時，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，BD=BA=3，CD=4-3=1，故P（1，0），E（0，1），B（4，3），代入拋物線解析式的一般式即可；
（3）以PE為直角邊，則點P可以作為直角頂點，此時∠EPB=90°，B點符合；點E也可以作為直角頂點，采用將直線PB向上平移過E點的方法，確定此時的直線EQ解析式，再與拋物線解析式聯立，可求點Q坐標．
解答：解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90度．
∴∠OPE+∠APB=90°．
又∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴．
即．
∴y=x（4-x）=-x²+x（0＜x＜4）．
且當x=2時，y有最大值．

（2）由已知，△PAB、△POE均為等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．
設過此三點的拋物線為y=ax²+bx+c，則

∴
y=x²-x+1．

（3）由（2）知∠EPB=90°，即點Q與點B重合時滿足條件．
直線PB為y=x-1，與y軸交于點（0，-1）．
將PB向上平移2個單位則過點E（0，1），
∴該直線為y=x+1．
由
得
∴Q（5，6）．
故該拋物線上存在兩點Q（4，3）、（5，6）滿足條件．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定方法，及尋找特殊三角形條件的問題，涉及相似與平移的數學方法．