Question

如圖，直線l的解析式為y=-x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線m從原點O出發，沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，運動時間為t秒（0＜t≤3）
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）以MN為對角線作矩形OMPN，記△MPN和△OAB重合部分的面積為S，試探究S與t之間的函數關系；
（3）當S=2時，是否存在點R，使△RNM∽△AOB？若存在，求出R的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當y=0時，0=-x+4
解得x=3，
即A（3，0），
當x=0時，y=4
即B（0，4）；

（2）Ⅰ當點P在直線AB左邊時，
∵矩形OMPN，
∴NP=OM=t
∵m∥l
∴△OMN∽△OAB
∴=，
∴=，
∴PM=ON=t，
∴s₁=PN•PM=•t•t=t²（0＜t≤），

Ⅱ當點P在直線AB右邊時，
∵OM=t，
∴AM=3-t，
∴ME=（3-t），
PE=t-（3-t）=t-4，
PF=-（t-4）=2t-3，
∴s₂=PN•PM-PE•PF，
=t•t-（t-4）（2t-3）=-2t²+8t-6（＜t≤3），
綜上所述：s₁=t²（0＜t≤），或s₂=-2t²+8t-6（＜t≤3）；

（3）當s₁=t²=2時，t=＞，舍去，
當s₂=-2t²+8t-6=2時，t₁=t₂=2，
此時M（2，0），N（0，），
∴存在R₁和R₂使△RNM∽△AOB，
∴∠RNM=∠AOB=90°，∠R₁MN=∠ABO=∠MNO，
∴R₁M∥y軸，
∴R₁H₁=OM=2，
∴NH₁=2×=，
∴OH₁=+=，
∴R₁（2，），
∴R₂H₂=R₁H₁=2，NH₂=NH₁=，
∴OH₂=-=，
∴R₂（-2，），
綜上所述：R₁（2，）或R₂（-2，）．
分析：（1）由直線的解析式，分別讓x、y為0，可求得A、B的坐標；
（2）分兩類情況進行討論，Ⅰ當點P在直線AB左邊時，分別用t表示出PM、PN，然后根據三角形面積公式求出s與t的關系式，當點P在直線AB右邊時，同理求出s與t的關系式；
（3）分別令s₁=t²，s₂=-2t²+8t-6=2，求出滿足條件的t的值，進而求出M和N的坐標，再根據△RNM∽△AOB求出點R的坐標．
點評：本題主要考查了一次函數綜合題的知識點，熟練掌握函數圖象與坐標軸的交點的求法，以及利用三角形的相似的性質，本題是一個難度較大的綜合題．