Question

【題目】探究與發現：

圖1 圖2 圖3

(1)探究一：三角形的一個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系

已知：如圖1，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

試探究∠P與∠A的數量關系，并說明理由．

(2)探究二：四邊形的兩個個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系

已知：如圖2，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，

試探究∠P與∠A＋∠B的數量關系，并說明理由．

(3)探究三：六邊形的四個內角與另兩個內角的平分線所夾的角之間的關系

已知：如圖3，在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，

請直接寫出∠P與∠A＋∠B＋∠E＋∠F的數量關系：__ __ __．

Answer 1

【答案】(1)∠P=90°+∠A (2) ∠P=（∠A+∠B）(3)∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°

【解析】試題分析：探究一：根據角平分線的定義可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根據三角形內角和定理列式整理即可得解；

探究二：根據四邊形的內角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；

探究三：根據六邊形的內角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．

試題解析：探究一：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠ACD，

=180°-（∠ADC+∠ACD），

=180°-（180°-∠A），

=90°+∠A；

探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠BCD，

=180°-（∠ADC+∠BCD），

=180°-（360°-∠A-∠B），

=（∠A+∠B）；

探究三：六邊形ABCDEF的內角和為：（6-2）180°=720°，

∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，

∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，

=180°-∠ADC-∠ACD，

=180°-（∠ADC+∠ACD），

=180°-（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），

=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，

即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

考點: 1.多邊形內角與外角；2.三角形內角和定理．