Question

如圖，在Rt△OPQ中，∠POQ=90°，∠Q=30°，OP=4

3

．四邊形ABCD是菱形，點A在邊PQ上，B、C在邊QO上（B點在C點的左側），且∠ABC=60°．設BQ=x．
（1）試用含x的代數式表示菱形ABCD的邊長；
（2）當點D在線段OP上時，求x的值；
（3）設菱形ABCD與△OPQ重合部分的面積為y，求y關于x的函數關系式；
（4）連接PD、OD．對于不同的x值，請你比較線段OD與PD的大小關系，直接寫出結論．

Answer 1

（1）∵∠Q=30°，∠ABC=60°，∴∠QAB=∠Q=30°．
∴BA=BQ=x，即菱形的邊長為x；（2分）

（2）如圖①，在Rt△DCO中，
∵∠DCO=60°，CD=x，
∴CO=

1

2

x，
∴QO=QB+BC+CO=x+x+

1

2

x
在Rt△POQ中，∠Q=30°，PO=4

3

，
∴QO=12．∴

5

2

x=12
x=

24

5

；（2分）

（3）如圖①，過A作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∠ABH=60°，AB=x，∴AH=

3

2

x
∴當0＜x≤

24

5

時，
y=x×

3

2

x=

3

2

x2（2分）
如圖②，設CD與0P相關交于點E，AD與OP相交于點F．
在Rt△COE中，∠ECO=60°，CO=12-2x，
∴CE=24-4x．∵CD=x，∴DE=5x-24．
在Rt△DFE中，∠D=60°，
∴DF=

5x

2

-12，EF=

3

(

5x

2

-12)?
?當

24

5

＜x≤6時?，
y=

3

2

x²-

3

2

（

5x

2

-12）²=-

21 3

8

x²+30

3

x-72

3

；

（4）如圖③，作OP的中垂線
當0＜x＜4時，OD＜DP；
當x=4時，OD=DP；
當4＜x≤6時，OD＞DP．