Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：AB=AC；
（2）求證：DE為⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE=．

試題分析：（1）根據垂直平分線的判斷方法與性質易得AD是BC的垂直平分線，故可得AB=AC；
（2）連接OD，由平行線的性質，易得OD⊥DE，且DE過圓周上一點D故DE為⊙O的切線；
（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，可得AB=BC=10，CD=BC=5；又∠C=60°，借助三角函數的定義，可得答案．
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°；
∵BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分線．
∴AB=AC．
（2）證明：如圖，連接OD，
∵點O、D分別是AB、BC的中點，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE為⊙O的切線．

（3）解：由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=BC=10，CD=BC=5．
∵∠C=60°，
∴DE=CD•sin60°=．