Question

如圖，已知∠BDC+∠EFC=180°，∠DEF=∠B．
（1）求證：∠AED=∠ACB（說明：寫出每一步推理的依據）；
（2）若D、E、F分別是AB、AC、CD邊上的中點，S_{四邊形ADFE}=6，求S_△ABC．

Answer 1

分析：（1）由BDC+∠EFC=180°和∠EFC+∠DFE=180°得到∠BDC=∠DFE，根據平行線的判定得AB∥EF，則∠ADE=∠DEF，而∠DEF=∠B，所以∠ADE=∠B，于是可判斷DE∥BC，然后根據平行線的性質得到∠AED=∠ACB；
（2）由E為AC的中點，根據三角形面積公式得到S_△ADE=S_△CDE=

1

2

S_△ADC，再由F為DC的中點得S_△DEF=S_△CEF=

1

2

S_△DEC，而S_{四邊形ADFE}=6，則S_△ADE+

1

2

S_△EDC=6，可計算出S_△ADE=4，則S_△ADC=8，然后利用D為AB的中點，根據S_△ABC=2S_△ADC進行計算即可．

解答：（1）證明：∵∠BDC+∠EFC=180°（已知），
而∠EFC+∠DFE=180°（鄰補角的定義），
∴∠BDC=∠DFE（等角的補角相等），
∴AB∥EF（內錯角相等，兩直線平行），
∴∠ADE=∠DEF（兩直線平行，內錯角相等），
∵∠DEF=∠B（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代換），
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），
∴∠AED=∠ACB（兩直線平行，同位角相等）；
（2）解：∵E為AC的中點，
∴S_△ADE=S_△CDE=

1

2

S_△ADC，
∵F為DC的中點，
∴S_△DEF=S_△CEF=

1

2

S_△DEC，
∵S_{四邊形ADFE}=6，
∴S_△ADE+

1

2

S_△EDC=6，
∴

3

2

S_△ADE=6，
∴S_△ADE=4，
∴S_△ADC=2×4=8，
∵D為AB的中點，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2×8=16．

點評：本題考查了行線的判定與性質：平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系．平行線的性質是由平行關系來尋找角的數量關系；應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆．也考查了三角形面積公式．