Question

已知：如圖，正比例函數的圖象與反比例函數的圖象都經過點P（2，3），點D是正比例函數圖象上的一點，過點D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點C和點Q，DC、DQ分別交反比例函數的圖象于點F和點A，過點A作x軸的垂線，垂足為B，AB交正比例函數的圖象于點E．
（1）當點D的縱坐標為9時，求：點E、F的坐標．
（2）當點D在線段OP的延長線上運動時，試猜想AE與DF的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數法可求出正比例函數與反比例函數的解析式分別為y=

3

2

x，y=

6

x

；把y=9代入y=

3

2

x，得x=6，可確定D點坐標為（6，9），根據題意可得A點的縱坐標為9，點F的橫坐標為6，然后把y=9代入y=

6

x

得x=

2

3

，把x=6代入y=

6

x

得y=1，則A點坐標為（

2

3

，9），F點坐標為（6，1），即得到點E的橫坐標為

2

3

，x=

2

3

代入y=

3

2

x得y=1，從而可確定E點坐標為（

2

3

，1）；
（2）設D點坐標為（a，

3

2

a），與（1）一樣可得A點的縱坐標為

3

2

a，點F的橫坐標為a，把y=

3

2

a代入y=

6

x

得x=

4

a

，把x=a代入y=

6

x

得y=

6

a

，即可得到A點坐標為（

4

a

，

3

2

a），F點坐標為（a，

6

a

），可得DF=

3

2

a-

6

a

；而點E的橫坐標與點A的橫坐標相同，即點E的橫坐標為

4

a

，把x=

4

a

代入y=

3

2

x得y=

6

a

，則E點坐標為（

4

a

，

6

a

），則有AE=

3

2

a-

6

a

，即可得到AE=DF．

解答：解：（1）設正比例函數與反比例函數的解析式分別為y=k₁x，y=

k 2

x

，把P（2，3）分別代入得k₁=

3

2

，k₂=6，
∴正比例函數與反比例函數的解析式分別為y=

3

2

x，y=

6

x

，
又∵點D的縱坐標為9，
∴對于y=

3

2

x，令y=9，得9=

3

2

x，解得x=6，
∴D點坐標為（6，9），
∵DC⊥x軸，DQ⊥y軸，
∴A點的縱坐標為9，點F的橫坐標為6，
∵點A與點F在反比例y=

6

x

的圖象上，
∴把y=9代入y=

6

x

得x=

2

3

，把x=6代入y=

6

x

得y=1，
∴A點坐標為（

2

3

，9），F點坐標為（6，1），
又∵AB⊥x軸，
∴點E的橫坐標與點A的橫坐標相同，即點E的橫坐標為

2

3

，
而點E在直線y=

3

2

x上，把x=

2

3

代入y=

3

2

x得y=1，
∴E點坐標為（

2

3

，1）；

（2）AE與DF相等．理由如下：
設D點坐標為（a，

3

2

a），
則A點的縱坐標為

3

2

a，點F的橫坐標為a，
把y=

3

2

a代入y=

6

x

得x=

4

a

，把x=a代入y=

6

x

得y=

6

a

，
∴A點坐標為（

4

a

，

3

2

a），F點坐標為（a，

6

a

），
∴DF=

3

2

a-

6

a

；
又∵點E的橫坐標與點A的橫坐標相同，即點E的橫坐標為

4

a

，
而點E在直線y=

3

2

x上，把x=

4

a

代入y=

3

2

x得y=

6

a

，
∴E點坐標為（

4

a

，

6

a

）
∴AE=

3

2

a-

6

a

，
∴AE=DF．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在圖象上，點的坐標滿足圖象的解析式；利用待定系數法求一次函數與反比例函數的解析式；平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相同；平行于x軸的直線上所有點的縱坐標相同．