Question

(本小題滿分12分)

在平面直角坐標系xOy中，拋物線的解析式是y =+1，點C的坐標為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點A，B在拋物線上，AB與y軸交于點M，已知點Q(x，y)在拋物線上，點P(t，0)在x軸上.

 (1) 寫出點M的坐標；

 (2) 當四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時.

① 求t關于x的函數解析式和自變量x的取值范圍；

② 當梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時，求t的值.

 

Answer 1

【答案】

 

（1）M (0，2)

（2）①t = –+ x –2

②–8.

【解析】

(1) ∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，

∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對稱軸，

∴ A，B的橫坐標分別是2和– 2，

代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，

∴M (0，2)，                                             ---2分

 (2) ① 過點Q作QH ^ x軸，設垂足為H， 則HQ = y ，HP = x–t ，

由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,

∵ Q(x,y) 在y = +1上，

∴ t = –+ x –2.                        ---2分

當點P與點C重合時，梯形不存在，此時，t = – 4，解得x = 1±,

當Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x = ± 2

∴x的取值范圍是x ¹ 1±,

且x¹± 2的所有實數.                          ---2分

② 分兩種情況討論：

1）當CM > PQ時，則點P在線段OC上，                                                            

     ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，

∴點M縱坐標為點Q縱坐標的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，

∴t = –+ 0 –2

= –2  .                                             --- 2分

2）當CM < PQ時，則點P在OC的延長線上，

     ∵CM∥PQ，CM = PQ，

∴點Q縱坐標為點M縱坐標的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±.     ---2分                                                 

當x = –時，得t = –––2 = –8 –,                       

當x =時，

得t =–8.                                  ---2分