Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，PB與CD交于點F，∠PBC=∠C．
（1）求證：CB∥PD；
（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半徑R=2，求劣弧AC的長度．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：（1）先根據同弧所對的圓周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代換得出∠C=∠D，然后根據內錯角相等兩直線平行即可證明CB∥PD；
（2）先由垂徑定理及圓周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根據鄰補角定義求出∠AOC=135°，然后根據弧長的計算公式即可得出劣弧AC的長度．
試題解析：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，
∴∠C=∠D，
∴CB∥PD；
（2）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，
∴，
∵∠PBC=∠C=22.5°，
∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=135°，
∴劣弧AC的長為：．
【考點】1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.弧長的計算．