Question

【題目】已知：矩形中，，，點是對角線上的一個動點，連接，以為邊在的右側作等邊．

（1）①如圖1，當點運動到與點重合時，記等邊為等邊，則點到的距離是________；

②如圖2，當點運動到點落在上時，記等邊為等邊.則等邊的邊長是________；

（2）如圖3，當點運動到與點重合時，記等邊為等邊，過點作交于點，求的長；

（3）①在上述變化過程中的點，，是否在同一直線上？請建立平面直角坐標系加以判斷，并說明理由．

②點的位置隨著動點在線段上的位置變化而變化，猜想關于所有點的位置的一個數學結論，試用一句話表述：______．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3）①點在直線上，即，，在同一條直線上；理由見解析；②點都在同一條線段（或直線）上．

【解析】

（1）①過點E1作E1N⊥BC于N，交AD于M，則MN＝AB＝，由等邊三角形的性質得出AP1＝AE1＝AD＝8，AM＝4，E1M＝，即可得出答案；

②作P2M⊥AD于M，則P2M∥AB，設等邊△AP2E2的邊長AE2為2x，由等邊三角形的性質得出AP2＝AE2＝2x，AM＝x，P2M＝，由△P2MD∽△BAD，得出，進而得出答案；

（2）過作于點，延長交于點，由等邊三角形的性質得出，，求出HM＝AD＝4，由平行線分線段成比例得出，即可得出答案；

（3）以B為坐標原點，以BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，由（1）（2）得：，，，由待定系數法求出過E1、E3的直線解析式，代入E2進行驗證即可得出結論；

②由①即可得出結論．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝8，過點E1作E1N⊥BC于N，交AD于M，如圖1所示：

則MN＝AB＝，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝8，

∵△AP1E1是等邊三角形，

∴AP1＝AE1＝AD＝8，AM＝4，

∴E1M＝，

∴E1N＝，即點到的距離是；

②作P2M⊥AD于M，如圖2所示，則P2M∥AB，

設等邊△AP2E2的邊長AE2＝2x，

∴AP2＝AE2＝2x，AM＝x，P2M＝，

∵P2M∥AB，

∴△P2MD∽△BAD，

∴，即，

解得：x＝，

∴AE2＝2x＝；

故答案為：；

（2）過作于點，延長交于點，

∵是等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，即，

∴；

（3）①以為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，

由（1）①②（2）所求，得，，，

設經過，的直線解析式為，

依題意，得，解得，

∴，

把代入一次函數解析式，得，

∴點在直線上，即，，在同一條直線上；

②用一句話表述：點都在同一條線段（或直線）上．