Question

【題目】(1) 如圖1，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2=_________度．

如圖2，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3=_________ 度．

如圖3，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_________度．

如圖4，MA1∥NA5，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________度．

如圖5，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_________ 度．

(2) 如圖,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分線相交于F,∠E=80°，求∠BFD的度數.

【答案】（1） 180； 360； 540；720；180（n-1）；（2）140°.

【解析】試題分析：（1）首先過各點作MA 1 的平行線，由MA 1 ∥NA 2 ，可得各線平行，根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得答案；

（2）由（1）中的規律可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，所以∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，又因為BF、DF平分∠ABE和∠CDE，所以∠FBE+∠FDE=140°，又因為四邊形的內角和為360°，進而可得答案．

試題解析：（1）如圖1，

∵MA 1 ∥NA 2 ，

∴∠A 1 +∠A 2 =180°．

如圖2，過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 3 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 =360°．

如圖3，過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，過點A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 4 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 =540°．

如圖4，過點A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M，過點A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M，

∵MA 1 ∥NA 3 ，

∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ，

∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°，∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°，∠C 2 A 3 A 4 +∠A 3 A 4 C 3 =180°，∠C 3 A 4 A 5 +∠A 5 =180°，

∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 +∠A 5 =720°；

從上述結論中你發現了規律：如圖5，MA 1 ∥NA n ，則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度，

故答案為：180，360，540，720，180（n-1）；

（2）由（1）可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，

∵∠E=80°，

∴∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°，

又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE，

∴∠FBE+∠FDE=140°，

∵∠FBE+∠E+∠FDE+∠BFD=360°，

∴∠BFD=360°-80°-140°=140°．

【點睛】本題考查了平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補、四邊形的內角和是360°，解題的關鍵是，（1）小題正確添加輔助線，發現規律：MA 1 ∥NA n ，則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180（n-1）度；（2）小題能應用（1）中發現的規律.

【題型】解答題
【結束】
28

【題目】已知如圖1，線段AB、CD相交于點O，連結AC、BD，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮聰明才智，解決以下問題：

(1)在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系，并說明理由；

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數有 個；

(3)在圖2中，若∠B＝76°，∠C＝80°，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N利用(1)的結論，試求∠P的度數；

(4)在圖3中，如果∠B和∠C為任意角，并且AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線，即∠PAO＝∠CAO， ∠BDP＝∠BOD，那么∠P與∠C、∠B之間存在的數量關系是 （直接寫出結論即可）．

Answer 1

【答案】(1) ∠A+∠C=∠B+∠D；證明見解析；（2）6；（3）78°；（4）∠P=

【解析】試題分析：（1）根據對頂角相等和三角形內角和定理可得解；

（2）根據“8字形”的結構特點，根據交點寫出“8字形”的三角形，然后確定即可；

（3）在圖2中，由∠C=80°，∠B=76°，可求∠P的度數；

（4）由（3）中的結論可得解.

試題解析：（1）在△AOC中，∠AOC=180°-∠A-∠C，

在△DOB中，∠BOD=180°-∠D-∠B，

∵∠AOC=∠BOD

∴180°-∠A-∠C=180°-∠D-∠B

∴∠A+∠C=∠B+∠D

（2）交點有點M、N各有1個，交點O有4個，所以，“8字形”圖形共有6個；

（3）∵∠B＝76°，∠C＝80°，

∴∠OAC+80°=∠ODB+76°，

∴∠ODB-∠OAC =4°，

∵AP、DP分別是∠CAO、∠BDO的角平分線

∴∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

又∵∠CAM+∠C=∠PDO+∠P

∴∠P=∠CAM+∠C-∠PDO= (∠CAO-∠BDO)+∠C=-2°+80°=78°

（4）由（3）可知∠P=∠CAM+∠C-∠PDO，

當AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線時，則有

∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO

∴∠P= (∠CAO-∠BDO)+∠C,

又∵由（3）知∠CAO-∠BDO=∠B-∠C

∴∠P=∠B-∠C+∠C=∠B+∠C