Question

17．如圖所示，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AB于點E．
（1）求證：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半徑為3，AD=2，試求AE的長；
（3）在（2）的條件下，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OB．先證明∠ABO、∠CBD均為直角，然后依據同角的余角相等證明∠ABD=∠CBO，接下來，結合等腰三角形的性質和平行線的性質進行證明即可；
（2）連接OB，先求得AB的長，然后由平行線分線段成比例定理求得BE的長，最后再△BOE中依據勾股定理可求得OE的長；
（3）根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）證明：如圖1：連接OB．

∵CD為圓O的直徑，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°．
∵AE是圓O的切線，
∴∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°．
∴∠ABD=∠CBO．
∵OB=OC，
∴∠C=∠CBO．
∴∠C=∠ABD．
∵OE∥BD，
∴∠E=∠ABD．
∴∠E=∠C；

（2）解：∵⊙O的半徑為3，AD=2，
∴AO=5，∴AB=4．
∵BD∥OE，
∴$\frac{AD}{AO}=\frac{AB}{AE}$，即$\frac{2}{5}=\frac{4}{AE}$，
∴AE=10；

（3）∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$AE•OB=15，
∵∠C=∠E，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△AOE}}$=（$\frac{AC}{AE}$）²=$\frac{16}{25}$，
∴S_△ABC=15×$\frac{16}{25}$=$\frac{48}{5}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質、圓周角定理的應用、等腰三角形的性質、平行線的性質、平行線分線段成比例定理、勾股定理的應用，求得BE的長是解答本題的關鍵．