Question

【題目】如圖， 是等邊三角形內的一點，連結、、，以為邊作且．連結．

（1）觀察并猜想與之間的大小關系，并證明你的結論．

（2）若， ， ，連結，試判斷的形狀，并說明理由．

（3）在（2）的條件下，求的面積．

Answer 1

【答案】（），證明見解析；（）為直角三角形，理由見解析；（）．

【解析】試題分析：（1）通過證明△ABP≌△CBQ得出；（2）根據△BPQ是等邊三角形求出PQ的長，再根據勾股定理逆定理可得△PQC是直角三角形；（3）過點B作BD垂直于CQ的延長線于點D，在△BDQ中求出DQ、BD的長，再求出CD，根據勾股定理求出BC的長，即可求出三角形ABC面積.

解：（1）AP=CQ，

理由：∵∠PBQ=60°，∠ABC=60°，

∴∠ABP+∠PBC=60°=∠CBQ+∠PBC，

∴∠ABP=∠CBQ，

在△ABP與△CBQ中，AB=CB,∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ．

（2）∵BP=BQ，∠PBQ=60°，

∴△BPQ為等邊三角形，

∴PQ=PB=4，

∵△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ=3，

∵PQ2+CQ2=42+32=25=PC2，

∴△PQC為直角三角形．

（3）∵∠PQC=90°，∠PQB=60°，

∴∠BQC=150°，

過點B作BD垂直于CQ的延長線于點D，

∴∠BQD=30°，

∵BQ=4，∴BD=2，DQ=2，

∴CD=CQ+DQ=3+，

在Rt△BCD中，BC=，

∵△ABC為等邊三角形，

∴S△ABC=．