Question

已知拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，已知A點坐標為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，連接AB，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數關系式．
（3）若拋物線上有一點F（-k-1，-k²+1），當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F？

Answer 1

解：（1）將點A（4，0）代入拋物線解析式可得：0=-×4²+4b+4，
解得：b=1，
故拋物線解析式為y=-x²+x+4；

（2）拋物線y=-=-x²+x+4與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），
則AB=4，AM=BM=2，
在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°，
則∠BCM=∠AMD，
故△BCM∽△AMD，
則=，即=，n=，
故n與m之間的函數關系式為n=（m＞0）．

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-x²+x+4上，
∴-（-k-1）²+（-k-1）+4=-k²+1，
化簡得，k²-4k+3=0，
解得：k₁=1，k₂=3，
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8），
①MF過點M（2，2）和F₁（-2，0），設MF為y=kx+b，
則，
解得：，
故直線MF的解析式為y=x-，
直線MF與x軸的交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1），
若MP過點F（-2，0），則n=4-1=3，m=，
若MQ過點F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=，
②MF過點M（2，2）或點F₁（-4，-8），設MF為y=kx+b，
則，
解得：，
故直線MF的解析式為y=x-，
直線MF與x軸的交點為（，0），與y軸交點為（0，-），
若若MP過點F（-4，-8），則n=4-（-）=，m=，
若MQ過點F（-4，-8），則m=4-=，n=，
故當，，或時∠PMQ的邊過點F．
分析：（1）將點（4，0）代入拋物線解析式可求出b的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）先求出AB、BM的長度，通過證明∠BCM=∠AMD，判斷△BCM∽△AMD，利用對應邊成比例可求出n和m之間的函數關系式；
（3）將點F的坐標代入拋物線解析式求出k的值，分別討論MP過點F，和MQ過點F的情況，分別得出m、n的值即可．
點評：本題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征的問題，同學們注意培養自己解決綜合題的能力，將所學知識融會貫通．