Question

【題目】已知拋物線l1：y=﹣x2+2x+3與x軸交于點A、B（點A在點B左邊），與y軸交于點C，拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（4，0），與y軸交于點D（0，﹣2）．

（1）求拋物線l2的解析式；

（2）點P為線段AB上一動點（不與A、B重合），過點P作y軸的平行線交拋物線l1于點M，交拋物線l2于點N．

①當四邊形AMBN的面積最大時，求點P的坐標；

②當CM=DN≠0時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2（2）①（，0）②（1，0），或（，0）

【解析】試題分析：(1)、首先根據二次函數的解析式得出點A和點B的坐標，然后將所求的二次函數設成交點式，將點D的坐標代入求出函數解析式；(2)、首先根據題意求出AB的長度，設點P的坐標為(x，0)，根據題意得出M和N的點坐標，根據四邊形的面積=AB·MN得出函數解析式，然后根據二次函數的性質得出最大值；(3)、作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行，得出四邊形CDNM為等腰梯形，根據題意得出△CGM和△DNH全等，設點P的坐標為(x，0)，得出點M、N的坐標，根據和為1求出方程的解，得出點P的坐標；當CM∥DN時，四邊形CDNM為平行四邊形，然后根據平行四邊形的性質得出方程，從而求出x的值得出點P的坐標.

試題解析：（1）∵令﹣x2+2x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）．

設拋物線l2的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）． ∵將D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2， ∴a=． ∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2；

（2）①如圖1所示：

∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB=4．

設P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）． ∵MN⊥AB，

∴SAMBN=AB·MN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）． ∴當x=時，SAMBN有最大值．

∴此時P的坐標為（，0）．

②如圖2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM與DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN， ∴四邊形CDNM為等腰梯形． ∴∠DNH=∠CMG．

在△CGM和△DNH中 ， ∴△CGM≌△DNH． ∴MG=HN． ∴PM﹣PN=1．

設P（x，0），則M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．

∴（﹣x2+2x+3）+（x2﹣x﹣2）=1， 解得：x1=0（舍去），x2=1． ∴P（1，0）．

當CM∥DN時，如圖3所示：∵DC∥MN，CM∥DN， ∴四邊形CDNM為平行四邊形．

∴DC=MN=5 ∴﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣2）=5， ∴x1=0（舍去），x2=，

∴P（，0）．

綜上所述P點坐標為（1，0），或（，0）．