Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，直線l經過點A和點C，連接BC.將直線l沿著x軸正方形平移m個單位得到直線， 交軸于點D，交BC于點E，交拋物線于點F.

（1）求點，點和點的坐標

（2）如圖2，將沿直線翻折得到，求點的坐標（用含的代數式表示）；

（3）在（2）的條件下，當點落在直線上時，請直接寫出點的坐標

Answer 1

【答案】（1）A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（8，0），點C的坐標為（0，6）；

（2）點B′的坐標為（m﹣10，﹣m+6）；

（3）F的坐標為（﹣1，3﹣12）

【解析】試題分析：（1）通過解方程，可得A點和B點坐標，再計算自變量為0時的函數值可得到C點坐標；（2）根據勾股定理求得BC=10，即可證得AB=BC，根據AC∥FD，得出，求得BE=BD，即可證得四邊形EB′DB是菱形，得出B′D∥BC，然后過點B′作B′H⊥AB與H，證得△B′HD∽△COB，即可求得 進一步求得OH，得出B′的坐標；（3）根據菱形的性質得出BM=B′M，由平移的定義可知DE∥AC，根據平行線分線段成比例定理證得BD=AD=AB=5，求得D的坐標，根據勾股定理求得AC的解析式，進而求得DF的解析式，然后聯立方程，即可求得F的坐標．

試題解析：

（1）將y=0代入y=﹣x2+x+6得，﹣x2+x+6=0，

解得x1=﹣2，x2=8，

∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（8，0）；

將x=0代入y=﹣x2+x+6得y=6，

∴點C的坐標為（0，6）；

（2）在RT△COB中，由勾股定理得BC=，

∵AB=AO+OB=2+8=10，

∴AB=BC，

∵AD=m，

∴DB=AB﹣AD=10﹣m，

∵AC∥FD，

∴,

∴BE=BD=B′E=B′D=10﹣m，

∴四邊形EB′DB是菱形，

∴B′D∥BC，

過點B′作B′H⊥AB與H，

∴∠B′DH=∠CBO，∠B′HD=∠COB=90°，

∴△B′HD∽△COB，

∴,即，

∴B′H=﹣m+6，HD=﹣m+8，

當點B′在y軸的右側時，OH=OB﹣HD﹣DB=8﹣（﹣m+8）﹣（10﹣m）=m﹣10，

當點B′在y軸的左側時，OH=HD+DB﹣OB=（﹣m+8）+（10﹣m）﹣8=10﹣m，

∴點B′的坐標為（m﹣10，﹣m+6）；

（3）∵四邊形EB′DB是菱形，

∴BM=B′M，

由平移的定義可知DE∥AC，

∴，

∴BD=AD=AB=5，

∵OA=2，

∴OD=3，

∴D的坐標為（3，0），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

代入A（﹣2，0），C（0，6）得： ，解得，

∵DF∥AC，

設直線DF的解析式為y=3x+b，

代入D（3，0）得9+b=0，

解得b=﹣9，

∴直線DF為y=3x﹣9，

解，得或，

∴F的坐標為（﹣1，3﹣12）．