Question

如圖，反比例函數(shù)（）與長(zhǎng)方形在第一象限相交于、兩點(diǎn)，，，連結(jié)、、．記、的面積分別為、．

（Ⅰ）①點(diǎn)坐標(biāo)為    　　  ；② 　（填“>”、“<”、“=”）；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求的值及點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀 ，并求的面積．

Answer 1

（Ⅰ）①點(diǎn)坐標(biāo)為；②；（Ⅱ），；（Ⅲ）直角三角形，

試題分析：（Ⅰ）①根據(jù)，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)；②根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義即可判斷；
（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)為中點(diǎn)可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再代入，即可求得的值，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅲ）由可得，從而求得k的值，再分別求得點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理證得為直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得結(jié)果.
（Ⅰ）①點(diǎn)坐標(biāo)為；②．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
把代入，得，解得．
∴．  
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為．  
（Ⅲ）∵，
∴．  
∴，即．
當(dāng)時(shí)，，解得，故點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)坐標(biāo)為．
∴，
，
． 
∴．
∴．
∴為直角三角形．
∴的面積．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，在中考中比較常見，一般作為壓軸題出現(xiàn)，難度較大．