Question

【題目】如圖，⊙是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線DE交BC的延長線于F點，連接PF。

(1)、若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長；（結果保留π）

(2)、求證：OD=OE；

(3)、求證：PF是⊙的切線。

Answer 1

【答案】(1)、2π；(2)、證明過程見解析；(3)、證明過程見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據直徑得出半徑的長度，然后根據弧長的計算公式進行求解；(2)、根據垂直得出∠ADO=∠PEO，對頂角相等，半徑相等得出△ADO和△PEO全等，從而得出OD=OE；(3)、連接PC，根據直徑得出∠ABC=90°，從而說明PD∥BC，根據已知條件結合(2)得出△PCE和△PFC全等，從而說明∠OPF=90°，得出切線.

試題解析：(1)、由直徑AC=12得半徑OC=6 劣弧PC的長為

(2)、∵ OD⊥AB，PE⊥AC ∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，∠ADO=∠PEO，∠AOD=∠POE，OA=OP ∴ △ADO≌△PEO ∴ OD=OE

(3)、連接PC，由AC是直徑知BC⊥AB，又OD⊥AB， ∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE 由（2）知OD=OE，則∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE ∴ EC=FC 由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF 在△PCE和△PFC中， EC=FC ∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC ∴ ∠PFC =∠PEC=90° 由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙的切線