Question

【題目】如圖，在平面角坐標系中，拋物線C1：y=ax2+bx﹣1經過點A（﹣2，1）和點B（﹣1，﹣1），拋物線C2：y=2x2+x+1，動直線x=t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M．

（1）求拋物線C1的表達式；

（2）直接用含t的代數式表示線段MN的長；

（3）當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；

（4）在（3）的條件下，設拋物線C1與y軸交于點P，點M在y軸右側的拋物線C2上，連接AM交y軸于點k，連接KN，在平面內有一點Q，連接KQ和QN，當KQ=1且∠KNQ=∠BNP時，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1：解析式為y=x2+x﹣1；（2）MN=t2+2；（3）t的值為1或0；（4）滿足條件的Q點坐標為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）

【解析】（1）利用待定系數法進行求解即可；

（2）把x=t代入函數關系式相減即可得；

（3）根據圖形分別討論∠ANM=90°、∠AMN=90°時的情況即可得；

（4）根據題意畫出滿足條件圖形，可以找到AN為△KNP對稱軸，由對稱性找到第一個滿足條件Q，再通過延長和圓的對稱性找到剩余三個點，利用勾股定理進行計算．

（1）∵拋物線C1：y=ax2+bx﹣1經過點A（﹣2，1）和點B（﹣1，﹣1），

∴，解得：，

∴拋物線C1：解析式為y=x2+x﹣1；

（2）∵動直線x=t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M，

∴點N的縱坐標為t2+t﹣1，點M的縱坐標為2t2+t+1，

∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2；

（3）共分兩種情況

①當∠ANM=90°，AN=MN時，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1），

∴AN=t﹣（﹣2）=t+2，

∵MN=t2+2，

∴t2+2=t+2，

∴t1=0（舍去），t2=1，

∴t=1；

②當∠AMN=90°，AN=MN時，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1），

∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，

∵MN=t2+2，

∴t2+2=t+2，

∴t1=0，t2=1（舍去），

∴t=0，

故t的值為1或0；

（4）由（3）可知t=1時M位于y軸右側，根據題意畫出示意圖如圖：

易得K（0，3），B、O、N三點共線，

∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1），

∴點K、P關于直線AN對稱，

設⊙K與y軸下方交點為Q2，則其坐標為（0，2），

∴Q2與點O關于直線AN對稱，

∴Q2是滿足條件∠KNQ=∠BNP，

則NQ2延長線與⊙K交點Q1，Q1、Q2關于KN的對稱點Q3、Q4也滿足∠KNQ=∠BNP，

由圖形易得Q1（﹣1，3），

設點Q3坐標為（a，b），由對稱性可知Q3N=NQ1=BN=2，

由∵⊙K半徑為1，

∴，解得：，，

同理，設點Q4坐標為（a，b），由對稱性可知Q4N=NQ2=NO=，

∴，解得：，，

∴滿足條件的Q點坐標為：（0，2）、（﹣1，3）、（，）、（，）.