Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁，實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，使數(shù)與形統(tǒng)一了起來(lái)，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），則A、B兩點(diǎn)之間的距離可以表示為AB＝，例如A（2，1）、B（﹣1，2），則A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝＝；反之，代數(shù)式也可以看作平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)C（5，1）與點(diǎn)D（1，﹣2）之間的距離．

（1）已知點(diǎn)M（﹣7，6），N（1，0），則M、N兩點(diǎn)間的距離為　 　；

（2）求代數(shù)式 的最小值；

（3）求代數(shù)式|| 取最大值時(shí)，x的取值．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）13；（3）

【解析】

（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論；

（2）由（1）可知：表示x軸上點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)E（-1，7）的距離PE和點(diǎn)A（x，0）與點(diǎn)F（4，5）的距離PF之和，即：PE+PF，作E關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)（-1，-7），最小值等于長(zhǎng)，由（1）即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)已知條件得到，由（1）可知：|

表示點(diǎn)A（x，0）與點(diǎn)E（2，3）的距離和點(diǎn)A（x，0）與點(diǎn)F（-，2）的距離之差，當(dāng)最大值時(shí)，即直線EF與x軸的交點(diǎn)為A（x，0），于是得到結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)M（-7，6），N（1，0），

∴MN==10，

即M、N兩點(diǎn)間的距離是10；

故答案為：10；

（2）由（1）可知：表示點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)E（-1，7）的距離和點(diǎn)A（x，0）與點(diǎn)F（4，5）的距離之和，

即在x軸找到一點(diǎn)到EF的和最小，由將軍飲馬模型可知作對(duì)稱點(diǎn)，作E關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)（-1，-7），連接，即AF+AE=為最小值，

∴最小值為的長(zhǎng)，

∴EF==13；

∴代數(shù)式的最小值是13；

故答案為13.

（3）∵=，

∴由（1）可知：表示點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)E（2，3）的距離PE和點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)F（-，2）的距離之PF差，即|PE-PF|當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)取最大值時(shí)，即直線EF與x軸的交點(diǎn)為A（x，0），

設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直線EF的解析式為

當(dāng)y=0時(shí)，x= ，

∴代數(shù)式取最大值時(shí)，x的取值為，