Question

（2010•皇姑區一模）如圖所示，ABCD為正方形．
（1）如圖1，點P為△ABC的內心，問：DP與DA有何數量關系？證明你的結論．
（2）如圖2，若點E在CB邊上（不與點C、B重合），點F在BA的延長線上，AF=CE，點P為△FBE的內心，則DP與DF有何數量關系？證明你的結論．
（3）如圖3，若點E在CB延長線上（不與點B重合），點F在BA的延長線上，AF=CE，點P是△FEB中與∠FEB、∠FBE相鄰的兩個外角平分線的交點，完成圖3，判斷DP與DF之間的數量關系（直接寫出結論，不證明）．

Answer 1

分析：（1）連接AP，BP，求出P在BD上，求出∠BAP=∠CAP，∠DAC=∠ABD=45°，根據三角形外角性質求出∠DAP=∠DPA，根據等腰三角形判定推出即可；
（2）連接DE，通過全等求出DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，求出∠DFP=∠DPF，根據等腰三角形判定推出即可；
（3）畫出圖形，連接BD，DE，由（2）知△DEF是等腰直角三角形，求出∠DEF=∠DFE=45°，求出∠P=180°-45°-∠PEB，∠DEP=180°-45-∠DEP，即可得出∠DEP=∠P，根據等腰三角形的判定推出即可．

解答：（1）DP=DA，
證明：連接AP，BP，
∵點P是△ABC內心，
∴∠BAP=∠CAP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，
∴P在對角線BD上，
∴∠DPA=∠DBA+∠BAP=45°+∠BAP，∠DAP=∠DAC+∠CAP=45°+∠CAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DP=DA．

（2）DP=DF，
證明：連接DE，PB，PF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠FAD=∠ADC=∠ABC=90°，
在△ECD是△FAD中，

CD=AD ∠C=∠FAD CE=AF

，
∴△ECD≌△FAD，
∴DF=DE，∠FDA=∠CDE，
∴∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠FDA+∠ADE=∠FDE=90°，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵P在△EBF的內心上，
∴∠BFP=∠EFP，∠ABP=∠CBP=45°，
∴P在BD上，
∴∠DPF=∠DBA+∠BFP=45°+∠BFP，
∴∠DFP=∠DFE+∠EFP=45°+∠EFP，
∴∠DPF=∠DFP，
∴DP=DF．

（3）DP=DF，如圖，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠MBE=90°，
∵BP平分∠MBE，
∴∠EBP=45°，
由（2）知：∠FED=45°，
∵EP平分∠NEB，
∴∠BEP=∠NEP，
∵∠P=180°-∠EBP-∠BEP=180°-45°-∠BEP，∠DEP=180°-∠FED-∠PEN=180°-45°-∠NEP，
∴∠P=∠DEP，
∴DE=DP，
∵DE=DF，
∴DP=DF．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，正方形性質，三角形外角性質，等腰直角三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，證明過程類似．