Question

矩形OABC在平面直角坐標系中位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（6，0），C（0，-3），直線y=-

3

4

x與BC邊相交于D點．
（1）求點D的坐標；
（2）若拋物線y=ax2-

9

4

x經過點A，求此拋物線的表達式及對稱軸；
（3）設（2）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為坐標軸上一動點，以P、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求出點M的坐標和符合條件的點P的坐標；
（4）當（3）中符合條件的△POM面積最大時，過點O的直線l將其面積分為1：3兩部分，請直接寫出直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據直線y=-

3

4

x與BC邊相交于D點，可得點D的縱坐標為-3，代入函數解析式可得出點D的橫坐標；
（2）利用待定系數法求出a的值，繼而可得出對稱軸；
（3）由（2）可得點M的橫坐標，代入解析式可得出點M的縱坐標，結合圖形可得，只要滿足△POM是直角三角形，即可滿足條件，從而尋找符合題意的點P即可；
（4）過原點的直線，只要過線段MP₄四等分點H、G即可．

解答：解：（1）∵D是直線y=-

3

4

x與BC的交點，
∴可得點D的縱坐標為-3，
從而可得D的坐標為（4，-3）；

（2）點A（6，0）代入y=ax²-

9

4

x，得0=36a-

9

4

×6，
解得：a=

3

8

故拋物線的表達式為：y=

3

8

x2-

9

4

x；
從而可得對稱軸是直線x=3；
（3）
點M的橫坐標為3，代入直線求得M（3，-

9

4

），
對稱軸與x軸交點P₁符合，P₁（3，0），
過M作y軸的垂線交y軸于點P₂，則P₂符合條件，
解得P₂（0，-

9

4

），
過M作OM的垂線分別交x軸y軸于點P₃、P₄，
則P₃（

75

16

，0），P₄（0，-

25

4

）．

（4）由（3）可得△OMP4的面積最大，
則只要直線過MP₄的四等分點即可將三角形面積四等分，
直線MP₄經過點M（3，-

9

4

），點P₄（0，-

25

4

），
故直線MP₄的解析式為：y=

4

3

x-

25

4

，
線段MP₄的三等分點有兩個，分別為H、G，
，
則點H的橫坐標為

3

4

，點G的橫坐標為

9

4

，
故可得點H的坐標為（

3

4

，-

21

4

），點G坐標為（

9

4

，-

13

4

），
當直線過點O、點H時，直線解析式為y=-7x；
當直線過點O、點G時，直線解析式為y=-

13

9

x．
綜上可得直線解析式為y=-7x或y=-

13

9

x．

點評：此題考查了二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、三角形的面積、二次函數的對稱軸，解答本題的關鍵要求同學們能將所學的知識融會貫通．