Question

5、設(shè)x是一個(gè)n位數(shù)，問是否總存在非負(fù)整數(shù)y≤9和z，使得10ⁿ⁺¹z+10x+y是一個(gè)完全平方數(shù)？

Answer 1

分析：利用完全平方數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律，可得知只有當(dāng)n=1或2的時(shí)候成立．

解答：解：存在．只有當(dāng)n=1或2的時(shí)候成立．
若取x=101，如果有相應(yīng)的y、z，則（1010+y）應(yīng)該是10000的平方剩余．
特別地，它應(yīng)該是16的平方剩余，并且平方剩余應(yīng)該是2、7、14或15之一．
而y≤9，所以只能是2或者7．但是2和7都不能是平方數(shù)的尾數(shù)，矛盾．
同理，當(dāng)n≥3時(shí)，只要x的末三位是101，就沒有相應(yīng)的y和z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，完全平方數(shù)的性質(zhì)有很多，最基本的是：末位數(shù)只能是0，1，4，5，6，9． 這一點(diǎn)一定要掌握．