Question

【題目】（1）發現

如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=，AB=.

填空：當點A位于__________________時，線段AC的長取得最大值，且最大值為_____________.

（用含，的式子表示）

（2）應用

點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1.如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值.

（3）拓展

如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2 , 0），點B的坐標為（5 , 0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①DC=BE,理由見解析；②BE的最大值是4.（3）AM的最大值是3+2，點P的坐標為（2-，）.

【解析】

試題分析：(1)當點A在線段CB的延長線上時，可得線段AC的長取得最大值為a+b；（2）①DC=BE，根據等邊三角形的性質可得AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，再證得∠CAD=∠EAB,即可判定△CAD≌△EAB，所以DC=BE；②當點A在線段CB的延長線上時，可得線段CD的長取得最大值為3+1=4，即可得BE的最大值是4;（3）如圖3，構造△BNP≌△MAP,則NB=AM,由（1）知，當點N在BA的延長線上時，NB有最大值（如備用圖）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=，∴AM=NB=AB+AN=3+;過點P作PE⊥x軸于點E，PE=AE=,又A（2，0）∴P（2-，）

試題解析：(1)CB的延長線上，a+b；

（2）①DC=BE,理由如下：

∵△ABD和△ACE為等邊三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB,

∴△CAD≌△EAB.

∴DC=BE.

②BE的最大值是4.

（3）AM的最大值是3+2，點P的坐標為（2-，）.