Question

【題目】（滿分8分）如圖，正方形ABCD中對角線AC、BD相交于O，E為AC上一點，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F.

(1)說明OE=OF的道理；

(2)在（1）中，若E為AC延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于G，AG、BD的延長線交于F，其他條件不變，如圖2，則結論：“OE=OF”還成立嗎？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質利用ASA判定△AOF≌△BOE，根據全等三角形的對應邊相等得到OE=OF；（2）類比（1）的方法證得同理得出結論成立．

試題解析：（1），在正方形ABCD中，

∴AO=BO,∠AOF=∠BOE=90°，

∴∠OBE+∠BEO=90°，

∵AG⊥EB，

∴∠AGE=90°，

∴∠GAE+∠AEG=90°，

∴∠OBE=∠OAF，

在△AOF和△BOE中，

，

∴△AOF≌△BOE(ASA)，

∴OE=OF.

(2)OE=OF仍然成立。

理由：正方形ABCD中,∴AO=BO,∠AOF=∠BOE=90°，

∴∠FAO+∠F=90°，

∵AG⊥EB,∴∠AGE=90°，

∴∠GAE+∠E=90°，

∴∠E=∠F，

在△AOF和△BOE中，

，

∴△AOF≌△BOE(AAS)，

∴OE=OF.

所以結論仍然成立。