Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，正方形 OABC的頂點B的坐標為（2，2），A、C兩點分別在x軸、y軸上．P是BC邊上一點（不與B點重合），連AP并延長與x軸交于點E，當點P在邊BC上移動時，△AOE的面積隨之變化．
①設PB=a（0＜a≤2）．求出△AOE的面積S與a的函數關系式．
②根據①的函數關系式，確定點P在什么位置時，S_△AOE=2，并求出此時直線AE的解析式．
③在所給的平面直角坐標系中畫出①中函數的圖象和函數S=-a+2的簡圖．
④設函數S=-a+2的圖象交a軸于點G，交S軸于點D，點M是①的函數圖象上的一動點，過M點向S軸作垂線交函數S=-a+2的圖象于點H，過M點向a軸作垂線交函數S=-a+2的圖象于點Q，請問DQ•HG的值是否會變化？若不變，請求出此值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：①由相似可以求出OE，△AOE是直角三角形，可以直接求出△AOE的面積．
②把S=2代入得到a=2，PB=2，此時E點與C點重合，求出E點坐標，運用待定系數法求出直線AE的解析式．
③利用描點法畫出一次函數和反比例函數的圖象．
④通過作輔助線得到△HRG和△DNQ均為等腰直角三角形，利用勾股定理用含a的式子表示出HG、DQ的值，從而求出定值．

解答：解：①∵B（2，2），且四邊形ABCO是正方形．
∴AB=BC=OC=AO=2
∵PB=a
∴PC=2-a
∵△PCE∽△AOE
∴PC：AO=EC：OE
即（2-a）：2=（0E-2）：OE
解得：OE=

4

a

∴S=

4

a

（0＜a≤2）；

②當S=2時，2=

4

a

求得：a=2，
∴OE=2，
∴E點C點P點重合．
∴P（2，0）
∴E（2，0），設直線AE的解析式為：y=kx+b則有：

2=b 0=2k+b

解得：

k=-1 b=2

直線AE的解析式為：y=-x+2；

③作圖為：S=

4

a

（0＜a≤2）與s=-a+2的圖象為：

④DQ•HG的值是不會變化的
設M點坐標為(t，

4

t

)，過H作HR垂直于a軸垂足為R，
過D作DN垂直于MQ垂足為N，易得HR=

4

t

，DN=t，
易證△HRG和△DNQ均為等腰直角三角形，由勾股定理得HG=

4 2

t

，DQ=

2

t
所以DQ•HG=

4 2

t

•

2

t=8．

點評：本題是一道一次函數和反比例函數的綜合試題，考查了待定系數法求函數的解析式，描點法畫函數圖象、等腰直角三角形的性質以及勾股定理的運用等多個知識點．