Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿AH折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．折痕與邊BC交于點 H，已知AD=8，HC：HB=3：5．

（1）求證：△HCP∽△PDA；
（2）探究AB與HB之間的數量關系，并證明你的結論；
（3）連結BP，動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由折疊的性質可知，

∠APH=∠B=90°，

∴∠APD+∠HPC=90°，

又∠PHC+∠HPC=90°，

∴∠APD=∠PHC，

又∠D=∠C=90°，

∴△HCP∽△PDA

（2）

解：AB=2BH．

∵HC：HB=3：5，

設HC=3x，則HB=5x，

在矩形ABCD中，BC=AD=8，

∴HC=3，則HB=5

由折疊的性質可知，HP=HB=5，AP=AB，

在Rt△HCP，根據勾股定理得，PC=4，

由（1）知，△HCP∽△PDA

∴ ，

∴AP= =10，

∴AB=AP=10=2BH，即AB=2BH

（3）

解：EF的長度不變．

如圖，作MQ∥AB交PB于Q，

∴∠MQP=∠ABP，

由折疊的性質可知，∠APB=∠ABP，

∴∠MQP=∠APB，

∴MP=MQ，又BN=PM，

∴MQ=BN，

∵MQ∥AB，

∴ ，

∴QF=FB，

∵MP=MQ，ME⊥BP，

∴PE=QE，

∴EF= PB，

由（2）得，PC=4，BC=8，

∴PB= =4 ，

∴EF=2

【解析】（1）先利用等角的余角相等得出∠APD=∠PHC，即可得出結論；（2）先求出HC=3，HB=5，進而得出HP=5，再用勾股定理求出PC，最后用△HCP∽△PDA得出的比例式即可得出結論；（3）先判斷出MQ=BN，進而得出QF=FB，再判斷出EF= PB，最后用勾股定理求出PB即可得出結論．
【考點精析】掌握勾股定理的概念和翻折變換（折疊問題）是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．