Question

在   ABCD中，AC、BD交于點O，過點O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點，連結EG、GF、FH、HE.

（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由；

（2）如圖②，當EF⊥GH時，四邊形EGFH的形狀是           ；

（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是          ；

（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說明理由.

 

Answer 1

解：（1）四邊形EGFH是平行四邊形．                     

證明：∵   ABCD的對角線AC、BD交于點O．

∴點O是   ABCD的對稱中心．

∴EO=FO，GO=HO．

∴四邊形EGFH是平行四邊形．                       

（2）菱形．                                           

（3）菱形．                                         

（4）四邊形EGFH是正方形．                            

∵AC=BD，∴   ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴   ABCD是菱形．∴   ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．

∴∠BOG=∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．          

由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，又∵EF⊥GH，EF=GH.

∴四邊形EGFH是正方形．