Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連結A0，如果AB=3，AO=2，那么AC的長等于______．

Answer 1

【答案】2+3．

【解析】在AC上截取CG=AB=3，連接OG，根據B、A、O、C四點共圓，推出∠ABO=∠ACO，證△BAO≌△CGO，推出OA=OG=2，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根據勾股定理求出AG，即可求出AC．

解：在AC上截取CG=AB=3，連接OG，

∵四邊形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴B、A、O、C四點共圓，
∴∠ABO=∠ACO，
在△BAO和△CGO中
BA=CG BA=CG，∠BAO=∠GCO，OB=OC，

∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=2，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG=，
即AC=2+3．
故答案是：2+3．

“點睛”本題主要考查對勾股定理，正方形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．