Question

【題目】把一張矩形紙片ABC的按如圖方式折疊，使頂點B落在邊AD上（記為點B′），點A落在點A′處，折痕分別與邊AD、BC交于點E、F．
（1）試在圖中連接BE，求證：四邊形BFB′E是菱形；
（2）若AB=8，BC=16，求線段BF長能取到的整數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BB′，如圖1所示：

由折疊知點B、B′關于EF對稱，

∴EF是線段BB′的垂直平分線，

∴BE=B′E，BF=B′F，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠B′EF=∠BFE，

由折疊得：∠B′FE=∠BFE，

∴∠B′EF=∠B′FE，

∴B′E=B′F，

∴BE=B′E=B′F=BF，

∴四邊形BFB′E是菱形

（2）解：如圖2所示：當點E與點A重合時，四邊形ABFB′是正方形，此時BF最小，

∵四邊形ABFB′是正方形，

∴BF=AB=8，即BF最小為8；

如圖2所示：當點B與點D重合時，BF最大，

設BF=x，則CF=16﹣x，DF=BF=x，

在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，

∴（16﹣x）2+82=x2，

解得：x=10，即BF=10，

∴8≤BF≤10，

∴線段BF長能取到的整數值為8，9，10．

【解析】（1）連接BB′，由折疊知點B、B′關于EF對稱，得出EF是線段BB′的垂直平分線，證出BE=B′E，BF=B′F，由矩形的性質得出∠B′EF=∠BFE，由折疊得：∠B′FE=∠BFE，得出∠B′EF=∠B′FE，證出B′E=B′F，BE=B′E=B′F=BF，即可得出結論；（2）當點E與點A重合時，四邊形ABFB′是正方形，此時BF最小，由正方形的性質得出BF=AB=8，得出BF最小為8； 當點B與點D重合時，BF最大，設BF=x，則CF=16﹣x，DF=BF=x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF=10，得出8≤BF≤10，即可得出結果．