Question

如圖，在直角坐標系內，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x軸，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B點的坐標是（-1，5）．
（1）直接寫出下列各點坐標．A（，）C（，）D（，）；
（2）等腰梯形ABCD繞直線BC旋轉一周形成的幾何體的表面積（保留π）；
（3）直接寫出拋物線y=x²左右平移后，經過點A的函數關系式；
（4）若拋物線y=x²可以上下左右平移后，能否使得A，B，C，D四點都在拋物線上？若能，請說理由；若不能，將“拋物線y=x²”改為“拋物線y=mx²”，試確定m的值，使得拋物線y=mx²經過上下左右平移后能同時經過A，B，C，D四點．

Answer 1

分析：（1）易得點C的縱坐標和點B的縱坐標相等，橫坐標比點B的橫坐標小8，過A作AE⊥BC于點E，那么BE=3，利用勾股定理可得AE=4，那么點A的橫坐標比點B的橫坐標小3，縱坐標比點B縱坐標小4，點D的縱坐標和點A的縱坐標相等，橫坐標比點A的橫坐標小2；
（2）繞直線BC旋轉一周形成的幾何體的表面積為兩個底面半徑為4，母線長為5的圓錐的側面積和一個半徑長為4，母線長為2的圓柱的側面的和，把相關數值代入即可求解；
（3）設新函數解析式為y=（x-h）²，把（-4，1）代入即可求解；
（4）可把等腰梯形以y軸為對稱軸放在平面直角坐標系中，確定一點，看其余點是否在y=x²上；進而設函數的解析式為y=mx²，A，B中的2點代入即可求解．

解答：解：（1）A（-4，1）；C（-9，5）；D（-6，1）；

（2）形成的幾何體的表面積為：2π×4×5+2π×4×2=56π；

（3）設所求的函數解析式為y=（x-h）²，
∴（-4-h）²=1，
h=-5或-3，
∴y=（x+5）²，y=（x+3）²；

（4）把等腰梯形以y軸為對稱軸放在平面直角坐標系中，點A的橫坐標為1，縱坐標為1，那么點B的坐標為（4，5），不在y=x²上，所以無論如何平移，都不能使得A，B，C，D四點都在拋物線上；
設y=mx²，點A（1，a），點B（4，a+4），
∴m=a，16m=a+4，
解得m=

4

15

，
∴y=

4

15

x²．

點評：平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等；拋物線的平移，二次項的系數不變，只看頂點的平移即可；拋物線經過各點，那么各點的坐標應適合這個函數解析式．