Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值．若沒有，請說明理由．
（4）若點M從B點以每秒

4

3

個單位沿BA方向向A點運動，同時，點N從C點以每秒

2

個單位向沿CB方向A點運動，問t當為何值時，以B，M，N為頂點的三角形與△OBC相似？

Answer 1

分析：（1）根據待定系數法求函數解析式的方法，將點A、B代入函數解析式，列出方程組即可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）根據題意可知，邊AC的長是定值，要想△QAC的周長最小，即是AQ+CQ最小，所以此題的關鍵是確定點Q的位置，找到點A關于對稱軸的對稱點B，利用待定系數法求出直線BC的解析式，直線BC與對稱軸的交點即是所求的點Q；
（3）存在，根據二次函數解析式設得點P的坐標，將△BCP的面積表示成二次函數，根據二次函數最值的方法即可求得點P的坐標；
（4）分別表示出BM、BN的長度，然后分①∠BMN是直角，②∠BNM是直角兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求解即可．

解答：解：（1）將A（1，0），B（-3，0）代y=-x²+bx+c中得

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，（2分）
∴

b=-2 c=3

，（3分）
∴拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；（4分）

（2）存在．（5分）
理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱，
∴直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小，
∵y=-x²-2x+3，
∴C的坐標為：（0，3），
直線BC解析式為：y=x+3，（6分）
x=-1時，y=-1+3=2，
∴點Q的坐標是Q（-1，2）；（7分）

（3）存在．（8分）
理由如下：如圖，設P點（x，-x²-2x+3）（-3＜x＜0），
則PE=（-x²-2x+3）-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△BPC=

1

2

×PE×[x-（-3）]+

1

2

×PE×（0-x），
=

1

2

（x+3）（-x²-3x）+

1

2

（-x）（-x²-3x）
=-

3

2

（x²+3x），
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
當x=-

3

2

時，△PBC的面積有最大值，最大值是

27

8

，
當x=-

3

2

時，-x²-2x+3=

15

4

，
∴點P坐標為（-

3

2

，

15

4

）；（11分）

（4）在Rt△OBC中，BC=

OB2+OC2

=

32+32

=3

2

，
運動t秒時，BM=

4

3

t，BN=3

2

-

2

t，
①∠BMN是直角時，∵△MBN∽△OBC，
∴

BM

OB

=

BN

BC

，
即

4 3 t

3

=

3 2 - 2 t

3 2

，
解得t=

9

7

，
②∠BNM是直角時，∵△NBM∽△OBC，
∴

BM

BC

=

BN

OB

，
即

4 3 t

3 2

=

3 2 - 2 t

3

，
解得t=

9

5

，
綜上所述，t為

9

7

或

9

5

時，以B，M，N為頂點的三角形與△OBC相似．

點評：此題考查了二次函數的綜合應用，待定系數法求函數解析式，二次函數的最值問題，相似三角形的對應邊成比例的性質，注意要分情況討論求解，要注意數形結合思想的應用．