Question

用網格線將平面分成若干個面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形．設格點多邊形的面積為S，它各邊上格點的個數和為x．

（1）圖中的格點多邊形，其內部都只有一個格點，它們的面積與各邊上格點的個數和的對應關系如下表，請寫出S與x之間的關系式．

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	3	4	5	6	…
各邊上格點的個數和x	3	4	5	6	…

答：S=______．
（2）請你再畫出一些格點多邊形，使這些多邊形內部都有而且只有2格點．此時所畫的各個多邊形的面積S與它各邊上格點的個數和x之間的關系式是：S=______．
（3）請你繼續探索，當格點多邊形內部有且只有n個格點時，猜想S與x有怎樣的關系？答：S=______．

Answer 1

解：（1）圖中的格點多邊形，其內部都只有一個格點，請你填寫下表．

多邊形的序號	①	②	③	④	…
多邊形的面積S	3	4	5	6	…
各邊上格點的個數和x	3	4	5	6	…

答根據以上信息，多邊形的面積=各邊上格點個數，即S=x；

（2）根據圖可知：

正方形的面積是8，它的各邊上格點的個數和x是6，中間格點數是2，
8=6+2；
三角形的面積是5，它的各邊上格點的個數和x是3，中間格點數是2，
5=3+2；
五邊形的面積是7，它的各邊上格點的個數和x是5，中間格點數是2，
7=5+2；
那么S=x+2；

（3）通過上題探究可知：
最后的1就是內部的格點數2n-2而得；
所以格點多邊形面積=各邊上格點的個數和×+（多邊形內部格點數的2被-2）；即：
S=x+（2n-2）；

分析：（1）多邊形的面積=各邊上格點個數半，即S=x；
（2）內部有2個格點就是指圖形的中間有2個小正三角形的頂點，由此畫圖；并根據圖找出S與x的關系．
（3）由圖可知多邊形內部都有而且只有n格點時，面積為：S=x+（2n-2）．
點評：考查了作圖-應用與設計作圖．此題需要根據圖中表格和自己所算得的數據，總結出規律．尋找規律是一件比較困難的活動，需要仔細觀察和大量的驗算．