Question

定義1：與四邊形四邊都相切的圓叫做四邊形的內切圓．定義2：一組鄰邊相等，其他兩邊也相等的凸四邊形叫做箏形．探究：任意箏形是否一定存在內切圓？答案：    ．（填“是”或“否”）

Answer 1

【答案】分析：由定義1知：只有四邊形的四個內角平分線相交于同一點時，四邊形才一定有內切圓．因此可沿箏形的對稱軸將箏形分成兩部分，然后用全等三角形證明箏形的四個內角平分線相交于同一點即可．
解答：解：如圖；
四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD；
由定義2可知：四邊形ABCD為箏形；
連接AC；
∵AB=AD，BC=CD，AC=AC；
∴△ABC≌△ADC；
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，∠ABC=∠ADC；
即AC平分∠BCD和∠BAD；
作∠ABC的角平分線交AC于E，作∠ADC的角平分線交AC于F；
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABE=∠ADF；
又AB=AD，∠BAC=∠DAC；
∴△ABE≌△ADF；
∴AE=AF，即E、F重合；
因此四邊形ABCD的四個內角平分線相交于同一點，由角平分線的性質可知：這個交點到四邊形ABCD的四邊距離都相等，因此箏形一定有內切圓．
點評：這是一個最簡單的探究題，這也是課程改革后新增加的一類問題．它是考查考生能力的主要題型，像這類問題是無法用“題海戰術”解決的．它更重視分析問題的能力培養，培養研究數學思想方法、尋求多種解題途徑中最佳解題方法的刻苦鉆研的精神．